实际决策问题中有一类多目标决策问题，其评价决策效果的准则或决策系统希望达到的目标往往是多个。各目标间往往 不可公度。因此，不存在通常意义下的最优解，也不能用一般解单目标问题的方法来解决，只能根据多个目标对决策人所产生的综合效用去评价决策方案的价值。问题的解只能是决策人认为“满意”的解，简称偏受解，而不是从无限或有限多方案中选出的最优解。本文所论的多目标规划法属于无限多可选方案中供决策人选择的一类。在进行多目标规划计算前，决策人应宣布其偏受意见。即给各目标排出一个优先等级次序。若同一级中有多个目标还应给出表示每一目标重要程度的加权系数。此外还要给出各目标希望达到的目的值。在规划计算后，目标实际值可能达不到目的值，也可能会超过，因而目的值与实际值之间会出现正或负的偏差。于是，多目标规划变成了求出偏爱解，使目标的实际值与目的值间偏差为极小。目标按其重要程度排列了优先次序允许把多目标规划变成迭代计算单目标规划。陶瓷坯料配料问题可足够准确认为是个线性问题。于是，本问题变成为迭代求解线性规划问题。

    陶瓷坯料配方是在若干种含有确定化学成分的原料中选择适当的比例而组成的。设原料库中可用原料的种数为n；原料中含化学成分的项数为p；陶瓷产品的种数为t；第j种原料中第k项化学成分的含量为a_kj；第j种原料在第I种产品的配方中的百分比含量为x_ij；第I种产品中第j项成分含量超过其目的值的正偏差变量为d⁺_ji;第I种产品中第j项成分含量未达到目的值的负偏差变量为d^-_ji；第I种产品本次配料计划总用量为s_I；第I种产品本次配料的期望成本为c_I;第j种原料的成本cj；第j种原料的库存量为Qj。

    一般认为，产品质量第一，保证质量前提下力求成本最低，最后是保证每次配料计算时库中有原料。现把目标分为三级。第1级目标p₁有7个。即7个质量指标。1.SiO₂;2.Al₂O₃;3.灼减;4.KNaO;5.CaO;6.MgO;7.Fe₂O₃。第2级目标p₂是成本。第3级目标p₃取库存限量。同一级内各目标的加权系数为Wl,l=l，…，r。与正、负偏差变量对应分别写为W ⁺l、W^-l。各级目标函数必是相应偏差变量与加权系数的线性组合。整个规划的目标函数是各级目标函数之和。对具体问题，目标函数中的量可以简化。第m级目标的加权系数按如下规则选取：

    当某质量指标取≤号，则Wlm>0，Wlm=0；

    当某质量指标取≥号，则Wlm>0，Wlm=0；

    当某质量指标取=号，则Wlm>0，Wlm>0；

    设第1级的7个质量指标同样重要，则加权系数相同，令Wl₁= Wl₁=W₁。第2级只一个目标，Wl₂=W2。第3级各目标应一视同仁，加权系数相同，Wl₃=W₃。按给定的不等号方向，并为使计算机编程方便略去偏差变量中表示目标级的注脚符号不写而改为连续编号，得目标函数为

         Z=p₁·W₁(d₁⁺+d₂^-+d₃⁺+d₄^-+d₅⁺+d₆⁺+d₇⁺)+p₂·W₂d₈++p₃·W（）        （1）

    规划的约束条件分4种。

    1．  配料质量指标约束  第I产品配料结果必须合乎该产品各指标规定。指标是bki。

    I=1,…,t,k=1，…，p                             (2)

     有7 种化学成分含量，相应有p=7个质量指标，这种约束共有7个。Akj的值如下表所示。

    2.成本约束 第I产品配料不要超过计算时给出的期望成本值Ci

    I=1,…，t        (3)

    3.库存约束  某项原料用量不能超过该原料的库存量。

    I=1,…，t,j=1…，n       (4)

    4．均衡约束  所有原料配比之和为1。

    如有人工加入的辅助配比，可从1减去此比值。其差作为均衡约束的右端值。

    以上4个约束式中的变量均有Xij≥0，d⁺_ji≥0，d^-_ji≥0,d⁺_ji·d^-_ji=0

    对所有的j,I                      （6）

     由上面的（1），（2），（3），（4），（5），（6）式构成了陶瓷坯料配料多目标模型。问题是，在（2）~（6）式的约束下求（1）式为极小。

    由于目前还没有统一的国家产品质量的化学成分标准，故bki值只能按该产品的厂方历史数据来确定。值可在配料计算时给出。这对每种产品而言，该模型共有变量30个。其中决策变量n=7个，偏差变量共7+7+1+1+7=23个。约束式16个。其中等式约束1个，不等式约共7+1+7=15个。可见这只是个小规模问题，用一般微型计算机可以解决。

    二、计算结果与分析

    在本项研究中，对不同的产品和不同的目的值b_k，期望成本C，加权系数W进行了计算，计算结果及对其分析如下。

    1．  设给出的b_k值对工艺过程而言是良态数据。当计算结果全部满足约束时的b_k值称为是良态数据。设b_k值及不等式号如下：

     SiO₂ ≤68.30     Al₂O₃≥19.76

     灼减≤6.42      KNaO≥3.81

     CaO ≤0.53     MgO ≤0.64   Fe₂O₃  ≤0.54

    取与第一级质量指标的正负偏差变量对应的加权系数为W1=100。取第二级期望成本C=45，W2=100。第三级库存量Q认为足够多，W3=1。设本次配料总用量S=10吨。得计算结果是：

    SiO₂=68.30   Al₂O₃ =20.06

    灼减=5.73   KNaO=4.46

    CaO=0.41   MgO=0.49   Fe₂O₃=0.54

    成本=45

    第1、2、3级目标值均为零。配方的%是：大同沙=0.1145  洲洞=0.2669  石咀=0.4109  狮岭=0.2077各原料用量是（单位吨）：大同沙=1.145  洲洞=2.669  石咀=4.109  狮岭=2.077可以看出，质量指标实际值全部满足约束。结果可用。

    2．多目标规划和线性规划均使用良态数据时，两者均有解。当给出的期望成本是最小成本时，两种规划的解相同或十分接近。即此时多目标规划的解是最优解。给定C=39.68，用上面第（1）的良态数据计算，得结果如下表。曾对多组良态数据进行计算，给论相同。

3．设给出的bk值对工艺过程而言是基本良态数据，其余与（1）同。计算结果中有一项突破约束时的一组bk值称为是基本良态的。分别对多目标规划及线性规划进行了计算。线性规划无可行解，而多目标规划仍可求得解。且解仍有一定实用价值。见下表。显然KNaO一项指标不被满足。不过，突破过约束并不在质量指标中起决定作用，且偏离并不十分严重，故结果尚可用。

4．设给出的bk值对工艺过程而言是非良态数据，其余与（1）同。计算结果中有二项以上突破约束时的一组bk值称为是非良态的。线性规划无可行解，多目标规划的解如下表。有两项指标KNaO，Al₂O₃不被满足。不过，与人工经验配方相比，只要偏离不太大结果常常也是可用的，但按计算机要求是不可取的。

5．与（1）相同条件下对不同的C值进行了计算，结果见下表。由表可见，C在较宽范畴内变化时，C在较窄范围内变化。对给定的bk，在一定范围内C与C有相同值。C=Cmin有最小值。C低至某一值时将突破第一级指标约束，而当C越过其最小值时就突破第二级约束。这样就使用户有很大的自由在保证质量前提下选择最低成本值。可以根据近期进货价及以往多次计算经验初选C，再试算来确定C。

    6．改变加权系数对解答的影响。我们对良态、基本良态、非良态和对不同的加权系数进行了计算，结果视给定的C而不同。当C ≤Cmin时，W从0.1~100变化对计算结果没有多大影响。在C>Cmin时，在同样范围内各指标计算结果高低有所波动，但并非十分显著。此外，W取小些时，例如0.1~1，迭代计算次数增加，计算时间变长。故W宜取在一些，但W再大迭代次数已趋饱和。

    三、结论

    1．  用多目标规划法解陶瓷坯料最优配方问题，方法简单易行，快捷准确。可考虑多种因素，求解多种产品方案。但在计算上比线性规划复杂些。因迭代地使用线性规划，计算时间上要长数倍。变量越多，时间越长；

    2．  本法要求决策人提供爱好信息不多，给出目标优先次序和加权系数是容易做到的，但目的值对问题的解答非常敏感，要慎重确定。

    3．  期望成本为最优成本时，对于良态数据，多目标规划的解是最优解。对基本良态或非良态数据，线性规划已无可行解，而多目标规划的解一般来说在工程上还是可用的；

    4．  算法的关键是按产品质量的要求定出b_k值，其余参数的给定是相当自由的。期望成本可在相当宽的范围内给定，也容易得到最小的成本值。W值的选取也是相当自由的；

    5．  目标规划法用于陶瓷厂的坯料配方计算是成功的。这只是个小规模问题。即使加入汉字处理，原料库存管理，成品质量管理与预测，优化参数的回归分析等内容，在一般微型机上均能完全解决。

信息来源：中国陶瓷信息资源网